ここでは、Hopf 代数のコホモロジーのコンピュータを使った計算法を紹介します。
Hopf 代数のコホモロジーは Minimal Resolution や cobar construction を使えば原理的には計算できますが、 ちょっと複雑なHopf 代数では手計算は困難です。mod p Steenrod algebra Ap の cohomology を計算する為に J. Peter May が導入した May Spectral Sequence を使うのが有力な方法です。この計算は二つの計算部分に 分かれます。一つは微分代数のホモロジーを計算する部分で、もう一つは微分を計算する 部分です。若い頃、手計算で mod p Steenrod algebra Ap の cohomology を計算していましたが、大変なので、 mod 2 Steenrod algebra A2 の cohomology を計算機で計算することを考えました。 このためには二つソフトを作れば良いです。一般的に微分代数のホモロジー を計算する all.exe と名付けたソフトと cobar construction の計算を 自動的に実行してくれる diff.exe と名付けたソフトです。これらのソフトは２０年ぐらい前に作りました。 その時は使えるコンピュータの性能が低く、リー群 E７の Z2 cohomology の cohomology ぐらいの計算量の比較的少ない 計算は完全にできましたが、mod 2 Steenrod algebra A2 の cohomology など私が計算したい計算は、 望みの計算をすることが出来ませんでした。 やっと、64 ビットのパソコンが販売され、誰でも購入でき、予算が削られ死にかかっている地方大学の教育学部にいる 私でも、大きな記憶容量を使えるようになってきたので、記憶容量の問題は解決しつつあります。しかし、パソコンでは、まだ最大２４ギガバイトですので、私がしたかった計算は不可能です。多分、テラバイト単位の記憶容量が必要です。 特に diff.exe は計算時間は、まだ解決していなくて、簡単な問題は良いですが、複雑な微分の計算などは、 パソコンの前に座って待っていても、答えはすぐには出ません。 しかし、使っていないコンピュータがあれば、それを利用すれば、コンピュータが時間は滅茶苦茶掛かります（ 個々の場合、数時間なのか、数日なのか、数カ月なのか、数年なのか・・・、私にも時間の評価はできません）が、 ほぼ勝手に計算してくれます。従って、パソコンで計算する場合には、diff.exe だけでも原理的には計算できますが、 Martin C. Tangora や Osamu Nakamura がmod 2 Steenrod algebra A2 の cohomology の計算でしたように、 Lie 群の cohomology のような各種 Hopf algebra の Cotor の計算でも、 Manipulative Methods や matric Massey products method や application of effect of squaring operations in May spectral sequence といった種々の手法を使っても計算できない場合の非常手段として、 使うのが良いと思います。 私も３月末で定年になり、残された時間も少なくなってきました。 ソースコードを公表しますから、興味のある方は使ってみてください。以下、ソフトの説明をします。
May Spectral Sequence とは
